柯西中值定理 柯西中值定理几何图解
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柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法国数学家、力学家。27岁成为巴黎综合工科学校教授，并当选为法国科学院 院士. 他的一生获得了多项重要的成果。柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究．目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义，实质上都是柯西给出的。数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等。
柯西
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家（布涅柯夫斯基和施瓦茨）彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，而且形式优美，结构巧妙，他也是高中四大经典不等式（均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式）之一，做为高中数学选修4－5的重要内容，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解在高考中拿分迅速准确。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面有很强大的应用。柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。
一、柯西不等式的各种形式及其证明
一般形式及推论
三个变形
柯西不等式的证明有很多，利用均值不等式、构造函数、数学归纳法等，而二维形式、三角形式、向量形式的证明过程也很简单，在这里笔者就不进行证明，欢迎大家评论区讨论，这里只给出积分形式（施瓦茨不等式）、推广形式（卡尔松不等式）证明的几种形式，以供参考。
二维形式
三角及向量形式
积分形式
推广形式
二、柯西不等式在高考中的几种应用
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解
先在柯西不等式的基础上把不等式构造出来，然后在进行求解。
由于许多式子的结构满足柯西不等式取等号的条件，因此可以利用不等式来解决等式的一些问题。例如下面的例题是一个三元二次方程组，依常规看，好像少了一个方程，但运用柯西不等式却可化腐朽为神奇，柳暗花明，让我们领悟到数学的奇异美。
柯西不等式结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。它作为一个基本而又重要的不等式，在数学领域中具有一定的地位。它不仅在高等数学中是一个重要的不等式，而且它对于初等数学的学习也有很大的指导意义。灵活巧妙地运用柯西不等式能高瞻远瞩，方便地解决初等和高等数学的有关问题，从而加深知识的理解与巩固。
能否熟练地应用就要看我们是否有去用它的意识，而且能否掌握其中的技巧，如果我们具备了就会使复杂问题简化，解题更加方便，快捷，收到事半功倍的效果。如何应用柯西不等式，难点在于构造，既要针对柯西不等式两端的形式，又要考虑问题所给条件和结论的内在联系，探索构造信息，有助于开阔眼界，培养思维的深刻性与发散性。其实对于数学上其它的公式、定理使用时也是如此，那就是：变形改造已知式，使定理公式的使用更便于结论的导出；创设、构造条件使看似不能利用相关定理、公式成为可能。
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